Рівняння Максвелла є основами електромагнітної теорії, яка складає набір з чотирьох рівнянь, що відносять електричне та магнітне поля. Замість того, щоб перераховувати математичне представлення рівнянь Максвелла, ми зосередимось на тому, яке справжнє значення цих рівнянь у цій статті. Перше та друге рівняння Максвелла стосуються статичних електричних полів та статичних магнітних полів відповідно. Третє та четверте рівняння Максвелла стосуються змінних магнітних полів та електричних полів відповідно.
Рівняння Максвелла:
- Закон Гаусса про електрику
- Закон магнетизму Гаусса
- Закон індукції Фарадея
- Закон Ампера
1. Закон Гауса про електрику
Цей закон стверджує, що електричний потік із закритої поверхні пропорційний загальному заряду, укладеному цією поверхнею. Закон Гаусса має справу зі статичним електричним полем.
Давайте розглянемо позитивний точковий заряд Q. Ми знаємо, що лінії електричного потоку спрямовані назовні від позитивного заряду.
Розглянемо замкнену поверхню із укладеним у неї зарядом Q. Вектор площі завжди вибирається Звичайним для нього, оскільки він відображає орієнтацію поверхні. Нехай кут, зроблений вектором електричного поля з вектором площі, дорівнює θ.
Електричний потік ψ є
Причина вибору крапкового добутку полягає в тому, що нам потрібно розрахувати, скільки електричного потоку проходить через поверхню, представлену вектором нормальної площі.
З закону кулонів ми знаємо, що електричне поле (Е) через точковий заряд дорівнює Q / 4πε 0 r 2.
Розглядаючи сферичну симетрію, інтегральною формою закону Гауса є:
Тому електричний потік Ψ = Q вкладений / ε 0
Тут укладене Q представляє векторну суму всіх зарядів усередині поверхні. Область, що охоплює заряд, може мати будь-яку форму, але щоб застосувати закон Гаусса, ми повинні вибрати гауссову поверхню, яка є симетричною і має рівномірний розподіл заряду. Гауссова поверхня може бути циліндричною або сферичною або плоскою.
Щоб вивести її диференціальну форму, нам потрібно застосувати теорему про дивергенцію.
Вище рівняння є диференціальної формою закону Гаусса або Максвелла рівняння я.
У наведеному вище рівнянні ρ являє собою об'ємну щільність заряду. Коли нам доводиться застосовувати закон Гаусса до поверхні з лінійним зарядом або розподілом поверхневого заряду, зручніше представляти рівняння з густиною заряду.
Тому ми можемо зробити висновок, що розбіжність електричного поля над закритою поверхнею дає кількість заряду (ρ), укладеного ним. Застосовуючи розбіжність до векторного поля, ми можемо знати, чи поверхня, укладена векторним полем, діє як джерело чи заглиблення.
Розглянемо кубоїд із позитивним зарядом, як показано вище. Коли ми застосовуємо розбіжність до електричного поля, що виходить із коробки (кубоїд), результат математичного виразу говорить нам, що коробка (кубоїд) розглядається як джерело для обчисленого електричного поля. Якщо результат негативний, це повідомляє нам, що коробка діє як раковина, тобто коробка вкладає в неї негативний заряд. Якщо розбіжність дорівнює Нулю, це означає, що в ньому немає заряду.
З цього можна зробити висновок про існування електричних монополів.
2. Закон магнетизму Гауса
Ми знаємо, що лінія магнітного потоку тече від північного полюса до південного полюса зовні.
Оскільки через постійний магніт існують лінії магнітного потоку, з ним буде пов'язана щільність магнітного потоку (В). Коли ми застосовуємо теорему розбіжності до поверхні S1, S2, S3 або S4, ми бачимо, що кількість ліній потоку, що надходять і виходять із вибраної поверхні, залишається незмінною. Тому результатом теореми розбіжності є Нуль. Навіть у поверхні S2 та S4 розбіжність дорівнює нулю, що означає, що ні північний полюс, ні південний полюс окремо не діють на джерело або поглинач, як електричні заряди. Навіть коли ми застосовуємо розбіжність магнітного поля (В) через струм, що несе струм, воно виявляється нульовим.
Цілісною формою закону Магнетизму Гауса є:
Диференціальною формою закону Магнетизму Гауса є:
З цього можна зробити висновок, що магнітних монополів не існує.
3. Закон Індукції Фарадея
Закон Фарадея говорить, що коли відбувається зміна магнітного потоку (що змінюється з часом), що зв’язує котушку або будь-який провідник, в котушці буде індукований ЕРС. Ленц заявив, що індукований ЕРС буде в такому напрямку, що він противиться зміні магнітного потоку, що його виробляє.
На наведеній вище ілюстрації, коли провідна пластина або провідник потрапляють під вплив мінливого магнітного поля, в ній індукується циркулюючий струм. Струм індукується в такому напрямку, що магнітне поле, яке створюється ним, протистоїть мінливому мінливу, яке його створило. З цієї ілюстрації видно, що змінюється або змінюється магнітне поле створює циркулююче електричне поле.
З закону Фарадея, emf = - dϕ / dt
Ми це знаємо, ϕ = закрита поверхня ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Електричне поле E = V / d
V = ʃ E.dl
Оскільки електричне поле змінюється відносно поверхні (скручування), існує різниця потенціалів V.
Тому інтегральною формою четвертого рівняння Максвелла є,
Застосовуючи теорему Стока,
Причиною застосування теореми Стока є те, що коли ми беремо завиток обертового поля над замкнутою поверхнею, внутрішні компоненти завивки вектора відміняють одна одну, і це призводить до оцінки векторного поля вздовж замкнутого шляху.
Звідси ми можемо написати, що
Диференціальна форма рівняння Максвелла є
З наведеного виразу стає ясно, що магнітне поле, яке змінюється з часом, створює циркулююче електричне поле.
Примітка: В електростатиці скручування електричного поля дорівнює нулю, оскільки воно виходить радіально назовні від заряду, і з ним не пов'язано обертової складової.
4. Закон Ампера
Закон Ампера стверджує, що коли електричний струм протікає по дроту, він створює навколо нього магнітне поле. Математично, лінійний інтеграл магнітного поля навколо замкнутого контуру дає загальний струм, що ним укладений.
ʃ B .dl = μ 0 I додано
Оскільки магнітне поле звивається навколо дроту, ми можемо застосувати теорему Стока до закону Ампера.
Тому рівняння стає
Ми можемо представити струм, укладений через щільність струму Дж.
B = μ 0 H, використовуючи це співвідношення, ми можемо записати вираз як
Коли ми застосовуємо розбіжність до завитків обертового векторного поля, результат дорівнює нулю. Це тому, що закрита поверхня не діє як джерело чи сток, тобто кількість потоку, що надходить і виходить з поверхні, однакове. Це можна математично представити як,
Давайте розглянемо схему, як показано нижче.
Схема має підключений до неї конденсатор. Коли ми застосовуємо розбіжність в області S1, результат показує, що вона не дорівнює нулю. У математичних позначеннях,
У ланцюзі протікає струм, але в конденсаторі заряди передаються через зміну електричного поля на пластинах. Тож фізично струм через нього не протікає. Максвелл створив цей мінливий електричний потік як струм переміщення (J D). Але Максвелл ввів термін "струм переміщення" (J D), враховуючи симетрію закону Фарадея, тобто якщо магнітне поле, що змінюється в часі, створює електричне поле, то симетричністю, зміна електричного поля створює магнітне поле.
Завиток напруженості магнітного поля (H) в області S1 становить
Інтегральна форма четвертого рівняння Максвелла може бути виражена як:
Диференціальна форма четвертого рівняння Максвелла:
Всі ці чотири рівняння або в інтегральній формі, або у диференціальній формі, зведені разом, називаються рівнянням Максвелла.