- Аналогові або цифрові фільтри
- Активні або пасивні фільтри
- Фільтри на основі аудіо чи радіочастот
- Фільтри на основі вибору частоти
- Низькочастотний фільтр Баттерворта першого порядку
- Фільтр низьких частот Баттерворта другого порядку
- Похідний фільтр Баттерворта низького рівня другого рівня - Елітер
Електричні фільтри мають багато застосувань і широко використовуються в багатьох схемах обробки сигналів. Він використовується для вибору або усунення сигналів обраної частоти в повному спектрі даного входу. Отже, фільтр використовується для пропускання через нього сигналів обраної частоти або для усунення сигналів обраної частоти, що проходять через нього.
В даний час існує безліч типів фільтрів, і вони різняться різними способами. І ми розглянули багато фільтрів у попередніх підручниках, але найпопулярніша диференціація базується на,
- Аналоговий або цифровий
- Активний або пасивний
- Аудіо або радіочастота
- Вибір частоти
Аналогові або цифрові фільтри
Ми знаємо, що сигнали, що генеруються навколишнім середовищем, мають аналоговий характер, тоді як сигнали, що обробляються в цифрових схемах, є цифровими. Для отримання бажаного результату ми повинні використовувати відповідні фільтри для аналогових та цифрових сигналів. Отже, ми повинні використовувати аналогові фільтри під час обробки аналогових сигналів і використовувати цифрові фільтри під час обробки цифрових сигналів.
Активні або пасивні фільтри
Фільтри також поділяються на основі компонентів, що використовуються під час проектування фільтрів. Якщо конструкція фільтра повністю заснована на пасивних компонентах (таких як резистор, конденсатор та індуктор), тоді фільтр називається пасивним фільтром. З іншого боку, якщо ми використовуємо активний компонент (операційний підсилювач, джерело напруги, джерело струму) під час проектування схеми, тоді фільтр називається активним фільтром.
Більш популярно, хоча активний фільтр віддають перевагу пасивному, оскільки він має багато переваг. Деякі з цих переваг згадуються нижче:
- Немає проблем із завантаженням: ми знаємо, що в активній схемі ми використовуємо підсилювач, який має дуже високий вхідний і низький вихідний опір. У тому випадку, коли ми підключаємо активний фільтр до ланцюга, тоді струм, який отримує операційний підсилювач, буде дуже незначним, оскільки він має дуже високий вхідний опір, а отже, схема не зазнає навантаження, коли фільтр підключений.
- Гнучкість регулювання посилення: у пасивних фільтрах посилення посилення або посилення сигналу неможливе, оскільки не буде конкретних компонентів для виконання такого завдання. З іншого боку, в активному фільтрі ми маємо операційний підсилювач, який може забезпечити високе посилення або посилення сигналу на вхідних сигналах.
- Гнучкість регулювання частоти: Активні фільтри мають більшу гнучкість при регулюванні частоти відсікання порівняно з пасивними фільтрами.
Фільтри на основі аудіо чи радіочастот
Компоненти, що використовуються при розробці фільтра, змінюються залежно від застосування фільтра або місця використання установки. Наприклад, RC-фільтри використовуються для аудіо- та низькочастотних програм, тоді як LC-фільтри використовуються для радіо- та високочастотних програм.
Фільтри на основі вибору частоти
Фільтри також поділяються на основі сигналів, що проходять через фільтр
Фільтр низьких частот:
Усі сигнали, які перевищують вибрані частоти, ослаблюються. Вони бувають двох типів - активний фільтр низьких частот та пасивний фільтр низьких частот. Частотна характеристика фільтра низьких частот показана нижче. Тут пунктирний графік є ідеальним графіком фільтра низьких частот, а чистий графік - фактичною реакцією практичної схеми. Це сталося тому, що лінійна мережа не може виробляти розривний сигнал. Як показано на малюнку, після того, як сигнали досягають граничної частоти fH, вони відчувають загасання, і після певної більш високої частоти сигнали, подані на вході, повністю блокуються.
Фільтр високих частот:
Всі сигнали вище вибраних частот з'являються на виході, а сигнал нижче цієї частоти блокується. Вони бувають двох типів - активний фільтр високих частот та пасивний фільтр високих частот. Частотна характеристика фільтра високих частот показана нижче. Тут пунктирний графік є ідеальним графіком фільтра високих частот, а чистий графік - фактичною реакцією практичної схеми. Це сталося тому, що лінійна мережа не може виробляти розривний сигнал. Як показано на малюнку, поки сигнали не мають частоту, що перевищує частоту відсічення fL, вони відчувають загасання.
Смуговий фільтр:
У цьому фільтрі на виході дозволяється відображати лише сигнали вибраного діапазону частот, тоді як сигнали будь-якої іншої частоти блокуються. Частотна характеристика смугового фільтра показана нижче. Тут пунктирний графік є ідеальним графіком смугового фільтра, а чистий графік - це фактична реакція практичної схеми. Як показано на малюнку, сигналам у діапазоні частот від fL до fH дозволяється проходити крізь фільтр, тоді як сигнали інших частот затухають. Дізнайтеся більше про смуговий фільтр тут.
Фільтр відхилення смуги:
Функція фільтра відхилення смуги - це прямо протилежна смуговому фільтру. Усі частотні сигнали, що мають значення частоти у вибраному діапазоні діапазону, передбаченому на вході, блокуються фільтром, тоді як сигнали будь-якої іншої частоти можуть виходити на вихід.
Всепрохідний фільтр:
Через цей фільтр дозволяється пропускати сигнали будь-якої частоти, за винятком того, що вони відчувають фазовий зсув.
Виходячи із заявки та вартості, дизайнер може вибрати відповідний фільтр з різних типів.
Але тут ви можете побачити на вихідних графіках бажані та фактичні результати не зовсім однакові. Хоча ця помилка допускається у багатьох додатках, іноді нам потрібен більш точний фільтр, вихідний графік якого більше прагне до ідеального фільтра. Цю майже ідеальну реакцію можна досягти, використовуючи спеціальні технології проектування, точні компоненти та високошвидкісні операційні підсилювачі.
Баттерворт, Каур і Чебишев є одними з найбільш часто використовуваних фільтрів, які можуть забезпечити майже ідеальну криву реакції. У них ми обговоримо тут фільтр Баттерворта, оскільки він є найпопулярнішим із трьох.
Основними особливостями фільтра Баттерворта є:
- Це фільтр на основі RC (резистор, конденсатор) та оп-підсилювач (операційний підсилювач)
- Це активний фільтр, тому коефіцієнт підсилення можна регулювати, якщо потрібно
- Ключовою характеристикою Баттерворта є те, що він має плоску смугу пропускання та плоску смугу зупинки. Ось чому його зазвичай називають "плоско-плоским фільтром".
А тепер давайте обговоримо схему схеми низькочастотного фільтра Баттерворта для кращого розуміння.
Низькочастотний фільтр Баттерворта першого порядку
На малюнку представлена схема ланцюга фільтра низького частоти першого порядку, який коштує масла.
У схемі маємо:
- Напруга 'Vin' як сигнал вхідної напруги, що має аналоговий характер.
- Напруга 'Vo' - вихідна напруга операційного підсилювача.
- Резистори 'RF' і 'R1' є резисторами негативного зворотного зв'язку операційного підсилювача.
- У ланцюзі присутня одна мережа RC (позначена червоним квадратом), отже фільтр є фільтром низьких частот першого порядку
- 'RL' - це опір навантаження, підключений на виході підсилювача.
Якщо ми використовуємо правило дільника напруги в точці 'V1', тоді ми можемо отримати напругу на конденсаторі як, V 1 = V в цьому -jXc = 1 / 2ᴫfc
Після підстановки цього рівняння ми отримаємо щось подібне нижче
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Тепер операційний підсилювач, що використовується тут у конфігурації негативного зворотного зв'язку, і для такого випадку рівняння вихідної напруги подається як
V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Це стандартна формула, і ви можете детальніше ознайомитись із схемами підсилювачів.
Якщо ми подамо рівняння V1 у Vo, ми матимемо, V0 = (1 + R F / R 1)
Після переписування цього рівняння ми можемо мати, V 0 / V в = A F / (1 + j (f / f L))
У цьому рівнянні
- V 0 / V in = коефіцієнт підсилення фільтра як функція від частоти
- AF = (1 + R F / R 1) = коефіцієнт підсилення смуги пропускання фільтра
- f = частота вхідного сигналу
- f L = 1 / 2ᴫRC = частота зрізу фільтра. Ми можемо використовувати це рівняння для вибору відповідних значень резистора та конденсатора для вибору частоти відсічення ланцюга.
Якщо ми перетворимо вищенаведене рівняння в полярну форму, то будемо мати,
Ми можемо використовувати це рівняння для спостереження зміни величини коефіцієнта підсилення зі зміною частоти вхідного сигналу.
Випадок 1: f <
Отже, коли вхідна частота дуже мала, ніж частота відсічення фільтра, тоді коефіцієнт підсилення приблизно дорівнює коефіцієнту посилення контуру операційного підсилювача.
Випадок 2: F = F L. Якщо вхідна частота дорівнює частоті відсічення фільтра,
Отже, коли вхідна частота дорівнює частоті відсікання фільтра, тоді коефіцієнт підсилення 0,707 перевищує коефіцієнт посилення контуру операційного підсилювача.
Питання 3: F> F L. Якщо вхідна частота перевищує частоту відсічення фільтра,
Як видно з моделі, коефіцієнт підсилення фільтра буде таким самим, як коефіцієнт підсилення операційного підсилювача, поки частота вхідного сигналу не стане меншою за частоту відсічення. Але як тільки частота вхідного сигналу досягає граничної частоти, коефіцієнт підсилення незначно зменшується, як це спостерігається у випадку двох. І в міру збільшення частоти вхідного сигналу коефіцієнт підсилення поступово зменшується, поки не досягне нуля. Отже, фільтр Баттерворта низьких частот дозволяє вхідному сигналу з'являтися на виході, поки частота вхідного сигналу не стане нижчою, ніж частота відсічення.
Якщо ми намалювали графік АЧХ для вищезазначеної схеми, ми будемо мати,
Як видно на графіку, коефіцієнт підсилення буде лінійним, доки частота вхідного сигналу не перетне значення граничної частоти, і як тільки це стане, коефіцієнт підсилення значно зменшиться, а також значення вихідної напруги.
Фільтр низьких частот Баттерворта другого порядку
На малюнку представлена схема схеми фільтра низьких частот Баттерворта 2-го порядку.
У схемі маємо:
- Напруга 'Vin' як сигнал вхідної напруги, що має аналоговий характер.
- Напруга 'Vo' - вихідна напруга операційного підсилювача.
- Резистори 'RF' і 'R1' є резисторами негативного зворотного зв'язку операційного підсилювача.
- У ланцюзі присутня подвійна RC-мережа (позначена червоним квадратом), отже, фільтр є фільтром низьких частот другого порядку.
- 'RL' - це опір навантаження, підключений на виході підсилювача.
Виведення фільтру Баттерворта низького частоти другого порядку
Фільтри другого порядку важливі, оскільки фільтри вищого порядку розроблені з їх використанням. Коефіцієнт підсилення фільтра другого порядку встановлюється за допомогою R1 і RF, тоді як частота відсічення f H визначається значеннями R 2, R 3, C 2 і C 3. Висновок для частоти відсічення наведено наступним чином, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
Рівняння посилення напруги для цієї схеми також можна знайти аналогічним чином, як і раніше, і це рівняння наведено нижче,
У цьому рівнянні
- V 0 / V in = коефіцієнт підсилення фільтра як функція від частоти
- A F = (1 + R F / R 1) коефіцієнт підсилення смуги пропускання фільтра
- f = частота вхідного сигналу
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = частота зрізу фільтра. Ми можемо використовувати це рівняння для вибору відповідних значень резистора та конденсатора для вибору частоти відсічення ланцюга. Крім того, якщо ми вибираємо однаковий резистор і конденсатор у RC-мережі, тоді рівняння стає,
Ми можемо рівняння посилення напруги спостерігати за зміною величини коефіцієнта підсилення з відповідною зміною частоти вхідного сигналу.
Випадок 1: f <
Отже, коли вхідна частота дуже мала, ніж частота відсічення фільтра, тоді коефіцієнт підсилення приблизно дорівнює коефіцієнту посилення контуру операційного підсилювача.
Випадок 2: F = F H. Якщо вхідна частота дорівнює частоті відсічення фільтра,
Отже, коли вхідна частота дорівнює частоті відсікання фільтра, тоді коефіцієнт підсилення 0,707 перевищує коефіцієнт посилення контуру операційного підсилювача.
Питання 3: F> F H. Якщо вхідна частота дійсно перевищує граничну частоту фільтра,
Подібно до фільтра першого порядку, коефіцієнт посилення фільтра буде таким же, як коефіцієнт підсилення операційного підсилювача, до тих пір, поки частота вхідного сигналу не буде меншою за частоту відсічення. Але як тільки частота вхідного сигналу досягає граничної частоти, коефіцієнт підсилення незначно зменшується, як це спостерігається у випадку двох. І в міру збільшення частоти вхідного сигналу коефіцієнт підсилення поступово зменшується, поки не досягне нуля. Отже, фільтр Баттерворта низьких частот дозволяє вхідному сигналу з'являтися на виході, поки частота вхідного сигналу не стане нижчою, ніж частота відсічення.
Якщо ми намалюємо графік АЧХ для вищевказаної схеми, ми будемо мати
Тепер вам може бути цікаво, де різниця між фільтром першого порядку та фільтром другого порядку ? Відповідь полягає в графіку, якщо ви уважно спостерігаєте, ви зможете побачити, як частота вхідного сигналу перетне граничну частоту, графік різко падає, і це падіння стає більш очевидним у другому порядку порівняно з першим порядком. При такому крутому нахилі фільтр Баттерворта другого порядку буде більш схильний до ідеального графіку фільтра в порівнянні з фільтром Баттерворта одного порядку.
Це те саме для фільтру низьких частот Баттерворта третього порядку, фільтра низьких частот Баттерворта третього порядку тощо. Чим вищий порядок фільтра, тим більше графік коефіцієнта підсилення схиляється до ідеального графіку фільтра. Якщо ми намалюємо графік посилення для фільтрів Баттерворта вищого порядку, ми отримаємо щось подібне,
На графіку зелена крива представляє ідеальну криву фільтра, і ви можете бачити, як порядок фільтра Баттерворта збільшується, його графік коефіцієнта підсилення більше нахиляється до ідеальної кривої. Тож вищим порядком обраного фільтра Баттерворта є тим ідеальніша крива посилення. З огляду на це, ви не можете легко вибрати фільтр вищого порядку, оскільки точність фільтра зменшується зі збільшенням порядку. Тому найкраще вибирати порядок фільтра, стежачи за необхідною точністю.
Похідний фільтр Баттерворта низького рівня другого рівня - Елітер
Після публікації статті ми отримали лист від Кіта Фогеля, який є відставним інженером-електриком. Він зауважив, що широко розрекламовану помилку в описі 2 - й фільтра нижніх частот порядку і запропонував своє пояснення, щоб виправити її, яка полягає в наступному.
Тож дозвольте мені теж правильно:
А потім скажіть, що частота відсікання -6 дБ описується рівнянням:
f c = 1 / (
Однак це просто неправда! Давайте змусимо вас повірити мені. Зробимо схему, де R1 = R2 = 160, а C1 = C2 = 100нФ (0,1 мкФ). Враховуючи рівняння, ми повинні мати частоту -6 дБ:
f c = 1 / (
Давайте промоделюємо схему і подивимось, де точка -6 дБ:
О, це імітує до 6,33 кГц, НЕ 9,947 кГц; але моделювання НЕ ПОГРЕЖНО!
Для вашої інформації я використав -6.0206db замість -6db, оскільки 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 - це трохи ближче число, ніж -6, і для отримання більш точної імітованої частоти до наших рівнянь я хотів використати щось трохи ближче, ніж просто -6 дБ. Якби я дійсно хотів досягти частоти, зазначеної рівнянням, мені потрібно було б здійснювати буферизацію між 1- м та 2- м етапами фільтра. Більш точним ланцюгом нашого рівняння буде:
І тут ми бачимо, що наша точка -6.0206db імітує 9,945 кГц, набагато ближче до нашої розрахованої 9,947 кГц. Сподіваємось, ви мені повірите, що сталася помилка! Тепер поговоримо про те, як виникла помилка, і чому це просто погана інженерія.
Більшість описів починаються з фільтра низьких частот 1- го порядку з імпедансом, як показано нижче.
І ви отримуєте просту передавальну функцію:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Тоді вони кажуть, що якщо просто скласти 2 з них, щоб зробити фільтр 2- го замовлення, ви отримаєте:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
Де H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Що при розрахунку призведе до рівняння fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Ось помилка, відгук H 1 (s) НЕ залежить від H 2 (s) в ланцюзі, ви не можете сказати H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
Імпеданс H 2 (s) впливає на реакцію H 1 (s). І отже, чому цей ланцюг працює, оскільки операційний підсилювач ізолює H 2 (s) від H 1 (s)!
Отже, зараз я збираюся проаналізувати наступну схему. Розглянемо нашу оригінальну схему:
Для простоти я збираюся зробити R1 = R2 і C1 = C2, інакше математика дійсно залучається. Але ми повинні мати можливість отримати фактичну функцію передачі та порівняти її з нашими моделюваннями для перевірки, коли ми закінчимо.
Якщо ми говоримо, що Z 1 = 1 / сС паралельно (R + 1 / сС), ми можемо перекреслити схему як:
Ми знаємо, що V 1 / V в = Z 1 / (R + Z 1); Де Z 1 може бути складним імпедансом. І якщо ми повернемося до початкової схеми, то зможемо побачити Z 1 = 1 / сС паралельно з (R + 1 / сС)
Ми також можемо побачити, що Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1), тобто H 2 (s). Але H 1 (s) набагато складніший, це Z 1 / (R + Z 1), де Z 1 = 1 / сС - (R + 1 / сС); і НЕ 1 / (sRC + 1)!
Тож давайте тепер зможемо розібрати математику для нашого кола; для приватного випадку R1 = R2 та C1 = C2.
Ми маємо:
V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
І, нарешті
Vo / V в = * = * = * = * = *
Тут ми бачимо, що:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
не 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
І..
Vo / V в = H 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1)
Ми знаємо, що точка -6 дБ (
І ми знаємо, коли величина нашої передавальної функції становить 0,5, ми знаходимось на частоті -6 дБ.
Тож давайте вирішимо для цього:
-Vo / V в - = -1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
Нехай s = jꙍ, маємо:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
Щоб знайти величину, візьміть квадратний корінь з квадрата дійсного та уявного доданків.
sqrt (((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
квадратування обох сторін:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
Розширюється:
1 - 2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Нехай x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Використання квадратного рівняння для розв’язування для x
x = (-7 +/- sqrt (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. єдиною реальною відповіддю є +
Запам’ятайте
x = (ꙍRC) 2
замінюючи x
(ꙍRC) 2 = (
Заміна ꙍ на 2
2
f c = (
Потворно, ти можеш мені не повірити, тож читай далі… Для оригінальної схеми, яку я тобі дав:
f c = (
Якщо повернутися до оригінального моделювання для цієї схеми, ми побачили частоту -6 дБ при ~ 6,331 кГц, що точно відповідає нашим розрахункам!
Імітуйте це для інших значень, і ви побачите, що рівняння є правильним.
Ми бачимо, що коли ми буферизуємо між двома фільтрами низьких частот 1- го порядку, ми можемо використовувати рівняння
f c = 1 / (
І якщо R1 = R2 і C1 = C2, ми можемо використати рівняння:
f c = 1 /
Але якщо ми не буферизуємо між двома фільтрами 1- го порядку, наше рівняння (з урахуванням R1 = R2, C1 = C2) стає:
f c = (
f c ~ 0,6365 / 2
Попередження, не намагайтеся сказати:
f c = 0,6365 / (
Пам’ятайте, H 2 (s) впливає на H 1 (s); але не навпаки, фільтри не симетричні, тому не робіть цього припущення!
Отже, якщо ви збираєтеся залишатися при поточному рівнянні, я б рекомендував схему, яка більш схожа на цю:
